एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच अंतर

सूत्र या आंशिक विधियों का उपयोग करके अभिन्न कार्यों को हल करना एकीकरण कहलाता है। ऊपर और ऊपर, विभेदन और एकीकरण, कलन के दो सबसे मौलिक, आवश्यक संचालन हैं। यह गणित और भौतिकी में समस्याओं को समझने के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है; चर आकार का क्षेत्रफल, वक्र की दूरी और ठोस का आयतन।

एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच अंतर

एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच मुख्य अंतर यह है कि एकीकरण सूत्रों का उपयोग करके निर्धारित फ़ंक्शन का सरल एंटी-डेरिवेटिव है। दूसरी ओर, आंशिक एकीकरण एक विधि है जिसका उपयोग आंशिक रूप से तोड़ने के लिए किया जाता है और फिर LIATE नियम के बाद हर में जटिल शब्दों के साथ एक तर्कसंगत अंश फ़ंक्शन को एकीकृत करता है।

एकीकरण किसी फ़ंक्शन के व्युत्पत्ति-विरोधी का सबसे सरल रूप है। दूसरे शब्दों में, यह प्रत्येक भाग को संपूर्ण रूप से जोड़ने की एक गणितीय विधि है। यह बंधे हुए क्षेत्रों के क्षेत्र की गणना करता है या ग्राफ़ में वक्रों के नीचे। इसमें त्रिकोणमिति, बीजगणित, व्युत्क्रम, घातांक जैसे विभिन्न कार्यों के लिए बीस से अधिक एकीकरण सूत्र हैं।

आंशिक एकीकरण को भागों द्वारा एकीकरण भी कहा जाता है। यह 1715 में गणितज्ञ ब्रुक टेलर द्वारा तैयार किए गए एकीकरण के तरीकों में से एक है। आंशिक एकीकरण सूत्र इस प्रकार उत्पादों में कार्यों के एकीकरण को सरल बनाकर इंटीग्रल की गणना करता है। इसके अलावा, यह अभिन्न अभिव्यक्तियों के साथ अच्छी तरह से काम करता है, जिसमें प्रत्यक्ष एकीकरण सूत्र नहीं होते हैं।

एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच तुलना तालिका

एकीकरण क्या है?

एकीकरण, विभेदन से पहले कलन में पढ़ाया जाने वाला प्राथमिक तरीका है। आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रिड विल्हेम लाइबनिज दोनों ने 17 वीं शताब्दी के अंत में व्यक्तिगत रूप से एकीकरण विकसित किया। इस सिद्धांत के अनुसार, एक वक्र के नीचे का क्षेत्र अनंत चौड़ाई के अनंत आयतों का योग होता है।

इसके अलावा, कलन में दो प्रकार के एकीकरण हैं, अर्थात् निश्चित और अनिश्चित। दो निश्चित ऊपरी और निचली सीमाओं के साथ वक्र के नीचे का क्षेत्र निश्चित समाकलन है। दूसरी ओर, अनिश्चितकालीन अभिन्न वक्र के नीचे का क्षेत्र है जिसमें कोई ऊपरी और निचली सीमा नहीं है।

साथ ही, किसी फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति के साथ, कोई सूत्र और तकनीकों का उपयोग करके व्युत्पत्ति-विरोधी निर्धारित कर सकता है, और इस विधि को एकीकरण कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, एकीकरण को हल करने के लिए विशिष्ट नियमों का पालन करना होगा, जैसे कि योग और अंतर नियम, शक्ति नियम, निरंतर गुणन नियम और पारस्परिक नियम।

कुछ कार्यों के समाकलन को चार विधियों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है जैसे कि प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, अपघटन, आंशिक एकीकरण और आंशिक अंशों द्वारा एकीकरण। ∫ वह प्रतीक है जो किसी फ़ंक्शन के अभिन्न का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, 1.dx = x + C का अर्थ है 1 (एक स्थिरांक) का एकीकरण X और C (स्थिर) के योग के बराबर है।

आंशिक एकीकरण क्या है?

इस पद्धति का उपयोग करके दो कार्यों को हल किया जाना है। इसे भागों द्वारा एकीकरण के रूप में भी जाना जाता है। आंशिक एकीकरण 1715 में गणितज्ञ ब्रुक टेलर द्वारा प्रस्तावित एकीकरण के तरीकों में से एक है।

यह आसान गणना के लिए कार्यों के उत्पाद के इंटीग्रल में एकीकरण को सरल करता है। यह तकनीक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय और लघुगणक कार्यों जैसे प्रत्यक्ष एकीकरण सूत्रों के बिना अभिन्न अभिव्यक्तियों की गणना करना है। आंशिक एकीकरण फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स को खोजने के लिए है जिसका सटीक समाधान नहीं है, जैसे बहुपदों के मामले में, त्रिकोणमितीय, घातीय, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन।

udv = uv – v du आंशिक एकीकरण द्वारा किसी फ़ंक्शन को हल करने के लिए नियोजित uv सूत्र का एकीकरण है। दो फलन u और v हल किए जाने वाले समाकल हैं। इसके अतिरिक्त, LIATE – लघुगणक, उलटा त्रिकोणमितीय, बीजगणित, त्रिकोणमितीय, और घातांक आंशिक एकीकरण के लिए अनुसरण किए जाने वाले कार्यों का एक आदेशित सेट है।

तदनुसार, पहला कदम LIATE के आधार पर u और v कार्यों को सही ढंग से पहचानना है। तो इस प्रकार (प्रथम फलन और द्वितीय फलन का गुणनफल) का एकीकरण {(प्रथम फलन के गुणनफल) और (द्वितीय फलन का समाकलन)} के अंतर और { के उत्पाद (प्रथम फलन का विभेदन) के समाकलन के बराबर है। और दूसरे कार्य का एकीकरण)}।

एकीकरण और आंशिक एकीकरण के बीच मुख्य अंतर

1. एकीकरण, कलन में प्राथमिक विधि है जिसका उपयोग कार्यों के व्युत्पन्न विरोधी को खोजने के लिए किया जाता है। जबकि, आंशिक एकीकरण एकीकरण के तरीकों में से एक है।
2. एकीकरण विधि सूत्रों को संक्षेप में लिख कर और उन्हें हल करके की जाती है। इस बीच, आंशिक एकीकरण int udv=u v- ∫ int v du का उपयोग कर रहा है।
3. एकीकरण 17 वीं शताब्दी के अंत में इस्साक न्यूटन और गॉटफ्रीड विल्हेम लिबनिज़ द्वारा तैयार किया गया था। इस बीच, आंशिक एकीकरण 1715 में गणितज्ञ ब्रुक टेलर द्वारा विकसित किया गया था।
4. फ़ंक्शन का एकीकरण ग्राफ़ में एक वक्र के नीचे के क्षेत्र को निर्धारित करने में मदद करता है। दूसरी ओर, आंशिक एकीकरण आसान एकीकरण के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करता है।
5. एकीकरण मौलिक नियमों जैसे, शक्ति नियम, योग नियम और गुणन नियम का पालन करता है। हालांकि, आंशिक एकीकरण केवल एक नियम का पालन करता है जिसका नाम LIATE (लघुगणक, उलटा त्रिकोणमितीय, बीजगणित, त्रिकोणमितीय और घातांक) है।

निष्कर्ष

सार में, विभिन्न चीजों को एक पूरे में मिलाने की विधि एकता है। गणित में ऐसे बहुत से सूत्र हैं जो समाकलन फलनों को हल करने में मदद करते हैं। ऐसे मामले में, आंशिक एकीकरण भी एकीकरण की एक विधि है जो उस अभिन्न कार्य को हल करने में मदद करता है जिसमें सूत्र नहीं होता है।

एकीकरण का प्राथमिक उद्देश्य या तो ऊपरी और निचली सीमाओं का उपयोग करके या उन्हें पूरी तरह से अनदेखा करके ग्राफ़ में वक्रों के नीचे के क्षेत्र का पता लगाना है। एकीकरण में नियमों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है, जैसे कि शक्ति, योग, गुणन, उत्पाद नियम। आंशिक एकीकरण केवल एक सूत्र संक्षिप्त LIATE का अनुपालन करता है, एक व्यवस्थित सेट जो अभिन्न कार्यों को हल करता है।